以下為演講全文：

　　張壽武：早上好, 很高興能夠參加未來科學大獎周，我接到組委會邀請來做一個30分報告，這對我來說是不太容易事情，我之前都是給數(shù)學系大學生、研究生或者對數(shù)學有興趣中學生做報告， 所以第一次給公眾報告，講解未來科學的題目，對我來講有點沉重。 我講點輕松東西。今天聽眾大人比昨天多些；昨天碰到很多中學生來聽報告。中學生通?？紤]的問題是念什么專業(yè)最有前途。在這個年代可怕有兩個主題是最好的專業(yè)，一個是計算機，一個是金融，這倆都可以給你帶來豐厚的工資。在我們年代也一樣，我們年代叫做學好數(shù)理化，走遍天下都不怕。我覺得數(shù)理化最有用的大概是化學，因為像家里面所有的東西基本都是化學制品。信不信由你，當年我也考上中山大學化學系，進入化學之后發(fā)現(xiàn)化學不好學。然后就去看物理書，發(fā)現(xiàn)物理也不好學，學物理要把數(shù)學學好，所以我轉(zhuǎn)到數(shù)學系去了。數(shù)學領(lǐng)域分成兩類，一類叫做應(yīng)用數(shù)學家，他們能解決問題。還有一類叫做純粹數(shù)學家，他們解決不了問題。我發(fā)現(xiàn)我沒辦法跟應(yīng)用數(shù)學家在一起拼，因為他們解題水平太高了，所以我就變成了一個純粹數(shù)學家。純粹數(shù)學家關(guān)注那些不能解的問題，所以就瞎掰，所以我今天的報告主要是瞎掰，基本上沒有什么用。但是如果你仔細聽，你會發(fā)現(xiàn)這些瞎掰的數(shù)學也不容易做。

　　我的第一部分是萬物皆數(shù)。萬物皆數(shù)這個道理是古希臘的大哲學家畢達格拉斯提出來的，他通過研究樂率和星座，發(fā)現(xiàn)萬事萬物都與數(shù)字有關(guān)系。所以在研究世界之前，應(yīng)當把數(shù)字研究清楚。他辦了一個學校，是一個秘密學校，這個學校里面主要學習哲學、音樂、天文和數(shù)學。他把許多事都標上數(shù)，比如說1代表推理，2代表意見，3代表和諧，4代表公正。5代表婚姻和愛情，奇數(shù)代表陽，偶數(shù)代表陰。這就是他的觀點。

　　畢達格拉斯的數(shù)是指有理數(shù)； 先有整數(shù)，整數(shù)之后再有成分數(shù)。有了整數(shù)之后我們就可以解所謂的線性方程。比如說3X等于5，那么X等于幾，5/3，這就是畢達格拉斯當年的研究。但畢達格拉斯很快發(fā)現(xiàn)光有有理數(shù)是不夠的，大家知道勾股定理，但你如果到美國念書，他就不叫勾股定理，而叫畢達格拉斯定理。我們現(xiàn)在雖然把它叫做畢達格拉斯定理，但其實并不是畢達格拉斯最先得出的，歷史記載都比這早的多。但是這些定理的名字都歸功為畢達格拉斯。

　　他有一個學生在研究單位正方形的對角線時發(fā)現(xiàn)了問題，他發(fā)現(xiàn)對角線根號2不是個有理數(shù)。這個問題就非常嚴重了，因為畢達格拉斯認為所有的數(shù)都是應(yīng)當是有理數(shù)。他學生發(fā)現(xiàn)了這一問題，發(fā)現(xiàn)之后他還告訴別人，對畢達格拉斯來說這可是不得了的事，后來他就把這個學生給沉到海里去了。這位學生發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)這件事使他付出了生命的代價。有了無理數(shù)，我們現(xiàn)在就知道二次方程可以求解，并且我們的中學生可以得出這個解，這是很了不得的事情。若沒有根號，我們的求解將會很困難。

　　現(xiàn)在又到了三次方程。三次方程求解也是一個很長的歷史，在1500年以前，中國人已經(jīng)知道數(shù)值解，這是在數(shù)值解領(lǐng)域中做的比較早的人。但是在精確解方面，中國人沒有研究過。我們知道中國人不會研究沒用的東西，數(shù)值解有用。關(guān)于三次方程的數(shù)學解，也有一個很長的故事，首先這些故事都是發(fā)生在幾百年以前意大利，首先有一個數(shù)學家叫做法羅，他發(fā)現(xiàn)了解一些三次方程的方法，但是他還沒有負數(shù)的概念，所以解方程比較被動，把正的一邊挪到那一邊，負的挪到那一邊，正的等于正的，所以他解方程很困難。我們現(xiàn)在叫配方，那個年代連解都不能解，所以更沒法配方。他發(fā)現(xiàn)解一類的方程，但是這個哥們兒寫在小本上，他死了之后，交給他的女婿，他女婿也是個數(shù)學家，他女婿繼承了他的位置并把這個方法保存起來。他另外一個學生菲爾斯到處吹噓我知道怎么解三次方程。后來碰到另外一個數(shù)學家，叫做塔格里爾，塔格里爾他也知道怎么解三次方程，但是他們兩個解的三次方程不一樣。后來他們決定要打一次賭，要比一比，你出30道題，我出30道題，咱們就拼一拼。結(jié)果塔格里爾在比賽的前一天整整算了一天，就把解菲爾斯三次那些方程的方法弄出來了，但菲爾斯忙活了一天都沒有解出塔格里爾的方程。于是塔格里爾就贏了。那時候不像現(xiàn)在，那時如果你知道怎么解方程，就會把這個證明寫出來，放在兜里，作為秘密保存下來。

　　另外一個意大利學家，卡達那，當時在寫一本書，他想知道塔格里爾怎么解方程，他問“你能不能把這個秘密告訴我，我堅決不會告訴別人，等到多少年之后我再來發(fā)表。”卡達那后來從別的途徑知道很早之前菲爾斯已經(jīng)知道這個證明了，他把這個書寫出來發(fā)表了。后來塔格里爾就很生氣，你跟我發(fā)誓說不要發(fā)表這個證明，你現(xiàn)在怎么給寫出來了發(fā)表。后來塔格里爾就要跟塔格里爾打賭，又要去比賽。他派了一個學生叫法拉力，法拉力跟塔格里爾比賽，比賽完成之后，后面這哥們兒更高明，他不只是知道負數(shù)，他還知道根復數(shù)，結(jié)果法拉力就贏了，贏了之后塔格里爾不只是把錢都輸光了，職位也丟了。那時候做數(shù)學危險系數(shù)很高，前面丟了命，后面工作都沒有了，這就是三次方程的例子。其實到今天我們有正數(shù)和負數(shù)的概念之后，這個解其實并不復雜。

　　把三次方程跟第二次方程做一個比較，把一個方程變成三個方程，后邊兩個方程很容易求解。也就是X, Y三次方程等于Q，前面的Y, Z等于P，前面一個三次方把這個求完，稍微學一點中學數(shù)學，這方程就能求解了。在那個年代不容易，三次方程就是這個樣子。關(guān)于四次方程，四次方程剛才前面的方法也能求解。

　　第二部分，現(xiàn)在我講五次方程。五次方程困擾數(shù)學家許久。這個問題被250年后的阿貝爾解決了。阿貝爾這個人是一個傳奇式的人物。打一個最簡單的例子，大家知道科學里有諾貝爾獎，數(shù)學里面有菲爾茲獎，大家通常把菲爾茲獎和諾貝爾獎做比較。但這是錯的。在1899年的時候，數(shù)學家們就提出來要用阿貝爾的名字做一個獎來代替諾貝爾獎，由于瑞典和挪威當時分裂了，這個事兒就耽擱，這事兒耽擱了差不多一百年，所以阿貝爾獎第一次頒獎是2003年。你就知道阿貝爾這個人不是簡單的人。阿貝爾是個才情極高的數(shù)學家，但是他這個人只活了26歲，他是一個非常不容易的人。他早年在做數(shù)學的時候就已經(jīng)發(fā)表過很多文章，但是不知道什么樣的原因，他的很多工作都被拒絕。他第一次證明了五次方程不可解的時候，用六頁紙寫下來，他把它講稿寄給高斯，高斯沒理他。他后來在雜志發(fā)表了這個證明，當很多人不相信。原因是證明太簡略。他為什么不寫長一點？ 他沒錢?，F(xiàn)在發(fā)表文章把文章往雜志一投，審一下稿就發(fā)了。但是那時你如果發(fā)表文章根據(jù)頁數(shù)交錢。但是他那時候沒有錢，所以這個文章很短。你不要笑話，前蘇聯(lián)也是這樣，前蘇聯(lián)有很多數(shù)學家寫的文章很短，我們現(xiàn)在認為蘇聯(lián)數(shù)學家寫的很精煉，法國數(shù)學家寫的很啰嗦，其實不是，蘇聯(lián)數(shù)學家沒錢，所以他只能是寫的那么短。所以阿貝爾這個五次方程不可解的東西，在過了很多年之后又重新給了證明。他為了證明五次方程不可解，他引入了群論，所以阿貝爾是群論的創(chuàng)始人之一。阿貝爾幾次到哥廷根到巴黎去跟大數(shù)學家切磋，都以失敗告終，因為他寫東西寫的不清楚，太精煉。他所有的榮譽都是在他死后得到的，他是得肺結(jié)核死的。他最悲慘的時候，他死了之后幾天他在哥廷根的位置才批下來，寄到他家里面，所以是很悲慘的例子。今天的阿貝爾獎就是為了紀念他。

　　五次方程不可解還涉及另外一個數(shù)學家——伽羅瓦。伽羅瓦是一個法學數(shù)學家，你看看他的歲數(shù)，他大概活了20歲。這個數(shù)學家小時候就有很高的數(shù)學天賦，他當時想考法國高等工科學院，相當于今天的清華大學，當時是法國數(shù)學最好的大學，相當于我們早期清華大學。清華大學三四十年代方程數(shù)學系是最好。他考了兩次高工也沒有考上，只好考了法國高等師范大學，相當于早期的北京大學。不過今天的法國高師很厲害， 我們的北京大學也很厲害。

　　伽羅瓦他有很強的數(shù)學天賦，但是他是一個政治熱衷者，他常常卷入政治斗爭。他是共和派，以前分?；逝珊凸埠团?，他為了共和派上街游行，坐牢。坐牢時候，在牢房里面碰見一個姑娘，他喜歡這個姑娘。出獄后就為了那個姑娘去決斗，他知道他的對手比他強太多了，他也知道他肯定必死無疑，在臨死前五天把他所有的寫下來，寫在小本本里面，然后寄給可柯西和傅里葉。這兩個數(shù)學家也不認為他的東西怎么的，一放放了幾十年，幾十年伽羅瓦的東西才發(fā)表，他所有的東西都是對的，而且他也獨立發(fā)表了群論。所以我講了兩個天才，他比阿貝爾的高明之處在于阿貝爾說一般的五次方程不可解，伽羅瓦是說隨便你給我五次方程，我在幾步之內(nèi)就知道它可解不可解。你看有些數(shù)學家真是瘋子，為了政治、為了愛情，把命都丟掉了，但是他丟了命確實跟數(shù)學沒有關(guān)系，如果他好好做數(shù)學應(yīng)該沒有問題。

　　所以到這個地方我要打一個成語，過一會兒到我的課結(jié)束之后會把謎底揭示出來。“方程無解”打一成語，你如果知道先別說。

　　第三部分，現(xiàn)代化一點的叫做等冪和問題，這是個很古老的問題。這個古老的問題是什么，我給一個整數(shù)，什么時候整數(shù)可以寫成兩個有理數(shù)的k次冪的和？這是一個很經(jīng)典的問題。比如說1等于3/5的平方加4/5的平方，這跟前面有什么關(guān)系，如果前面所有解的東西都是一元多次方程，一個方程只有一個變元，這些東西求解不求解問題相對來講簡單一點。但是現(xiàn)在一個方程里面有兩個變量在里面。要求在整數(shù)或有理數(shù)求解。這個問題復雜得多，多了一個維度。

　　這個問題也是很早的歷史，應(yīng)該是最早在歐幾里得的《幾何原本》里面就遇到這個問題，歐幾里得這個書也有兩千多年的歷史。它的印刷次數(shù)僅次于圣經(jīng)。不過專門研究這些整數(shù)方程其實是在另外一本書，是公元后兩百年，有一個叫丟番圖的人。他寫了一本書叫《算術(shù)》的書。書里面大概有幾百套個數(shù)學問題，他的書跟中國《九章算數(shù)》差不多平行，九章算數(shù)也列了幾百套問題。在那里面提到哪些數(shù)可以寫成兩個數(shù)平方。丟番圖通過一些演算之后，他猜測一個素數(shù)能夠?qū)懗蓛蓚€數(shù)的平方，當且僅當這個數(shù)除4余1； 比如5，5是1的平方加2的平方，11就不能寫成兩個數(shù)的平方和，因為你把11除完4之后余3，對吧，17沒問題，4的平方和1的平方。他的猜想差不多花了1000多年之后才被費馬證明。費馬是一個傳奇式的人物，首先他不是一個數(shù)學家，他是一個法官，作為法官不能跟老百姓平常聊天，因為怕影響到判決公正性。他平時沒什么事兒就喜歡做一些數(shù)學。做完數(shù)學之后，他就寫信寫給朋友，他做完之后把結(jié)論寫信告訴朋友，但是他不把證明寫給朋友，所以這就變成一個非常有趣的事情，他證了很多定理，都叫做費馬定理，但是都沒有證明。他其中最出名的一個例子，大家知道他把剛才前面丟番圖的《算術(shù)》，那本書里面碰到一個剛剛平方和的問題，被費馬推廣成高次和問題，然后他上面寫我已經(jīng)找到一個絕妙的證明，但是他說那書扉頁太小，我寫不下來。

　　費馬一輩子列出了很多定理，許多年之后另外一個大數(shù)學家叫做歐拉，歐拉年輕的時候名氣也不大，他就把費馬每一條定理單獨證一遍，但是最后一個定理證不出來，那定理叫做費馬最后定理。但是這個定理300年之后被普林斯頓的教授證明了。我今天講的是費馬第一個出奇意料的定理，他證明了一個沒有平方因子的有理數(shù)是兩個數(shù)的有理和，這個數(shù)分解之后，每個素因子要么是2，要么是4N+1，2是很好辦的事情，但是他把4N+1證出來了。

　　他在某一年的圣誕節(jié)，給他一個朋友寫了一封信，他說我已經(jīng)證出來一個有理數(shù)是兩個平方數(shù)的和，并稱其解的絕對妙。一個數(shù)能夠?qū)懗蓛蓚€數(shù)平方和的話，費馬說他還可以找一個更小的數(shù)，也是滿足同樣的條件。一直推，推到最后也推不下去了，肯定就做出來了。然后費馬給他這個辦法提個名字叫無限下降法，無限下降法是數(shù)學領(lǐng)域一個分支數(shù)論里面一個最經(jīng)典的方法，同樣他的證明從來沒有細節(jié)。這個證明的細節(jié)是歐拉多年之后證出來的。

　　費馬還有很多有趣的事情，大家知道微積分通常是牛頓發(fā)明的，如果你把牛頓的數(shù)學原理里面打開，牛頓是這樣說的，他的工作都是受費馬的工作的影響，因為費馬在當年沒有微積分的情況下已經(jīng)知道怎么求解極值和面積，費馬甚至知道什么叫變分法，這是很了不起的。

　　我最后要講的這一張幻燈片是關(guān)于未來數(shù)學，前面都是古典的數(shù)學。我前面說二次和問題解決了，那么三次四次怎么解決？剩下的問題我們所知甚少。我們第一個猜想是，一個整數(shù)能夠?qū)懗蓛蓚€有理數(shù)的立方和的概率只有1/2。這是很邪門的，你有時候能做有時候不能做，只有1/2的機會。要證明這個猜想，首先要解決另外一個大猜想，就是2000年克雷數(shù)學研究所的千禧問題，即解決了問題就拿100萬美金，也不需要像我們未來科學大獎評獎，連評都不評，只要文章拿出來給你錢。關(guān)于四次以上的等冪和問題我們知道的更少。1983年法爾廷斯證明這個方程如果有有理解，最多只有有限多個解。但是你要知道這個問題的難處在于是求有理數(shù)解，如果整數(shù)還好辦一點。由于他證明有這么一個結(jié)果，1986年他拿到菲爾斯獎。

　　另外一個數(shù)學家叫懷爾斯。懷爾斯他是說在n=1的情況下怎么解，就是是費馬當年沒有時間寫的那個定理的證明， 350年之后，人們認為費馬沒有證明，他只是胡說。

　　另外一個關(guān)于高次等冪和問題的猜想叫做ABC猜想，我沒有時間講，如果ABC猜想被證實的話，這個方程不只是知道有限多個有理解，應(yīng)該有個具體的程序來求解，我把它方程輸入計算機之后，計算機程序就能幫我解個數(shù)出來。法爾廷斯用了反證法，所以他的方法不能用來求具體解。我們未來數(shù)學當中有兩大猜想，一個是BSD猜想，一個是ABC猜想。我想今天下午張益唐會講另外一個猜想，黎曼猜想，數(shù)論里面差不多有這三大猜想在這里面。這最后一頁幻燈片就當今天大家聽聽笑話，不是真的做數(shù)學，你要真的做數(shù)學沒有問題，大家想想看，代價很大，要么是用生命代價，要么饑寒交迫，但是今天社會還是好很多，我們國家對數(shù)學重視程度在如今跟以往沒法比。

　　現(xiàn)在我介紹一些人們對數(shù)學家的描述。達爾文說，一位數(shù)學家就是一個黑屋子的瞎子，在找一個本不存在的黑帽子。這是數(shù)學的無解之解。畢達哥拉斯是第一個哲學家，現(xiàn)在有兩種宇宙：感性宇宙和理性宇宙，物理化學是感性宇宙，理性宇宙想象大的東西也是宇宙。所以數(shù)學你可以想象。另外一個叫Erdos的數(shù)學家說，數(shù)學家就是把咖啡轉(zhuǎn)化成定理的機器。數(shù)學家沒事兒就去喝咖啡，邊喝咖啡邊做數(shù)學，然后喝完也做不出來，那就繼續(xù)喝，直到把問題做出來。

　　那么我要揭開前面方程謎語的謎底，方程無解——求之不得。對數(shù)學家來說方程無解是一件最有趣的事情，意思就是解本沒有解的方程，我們才能夠有自己的研究，才能夠有自己的生命，好，謝謝大家。

文章轉(zhuǎn)載自新浪新聞