情況如下:楊振寧和陳省身的早期交往1922年，楊振寧出生于中國(guó)東部的一個(gè)中等城市——合肥。他的父親楊克純YangKo-Chuen，又名楊武之是北平清華大學(xué)教授，其后任復(fù)旦大學(xué)教授。楊武之于1928年在狄克遜L.E.Dickson指導(dǎo)下，以數(shù)論研究獲芝加哥大學(xué)博士學(xué)位。他是把現(xiàn)代數(shù)學(xué)引入中國(guó)的先驅(qū)之一，教導(dǎo)過(guò)許多優(yōu)秀的學(xué)生，其中有兩位最著名:華羅庚和陳省身。

　　楊振寧和陳省身的早期交往

　　1922年，楊振寧出生于中國(guó)東部的一個(gè)中等城市——合肥。他的父親楊克純(YangKo - Chuen，又名楊武之) 是北平清華大學(xué)教授，其后任復(fù)旦大學(xué)教授。楊武之于1928年在狄克遜 (L. E. Dickson) 指導(dǎo)下，以數(shù)論研究獲芝加哥大學(xué)博士學(xué)位。他是把現(xiàn)代數(shù)學(xué)引入中國(guó)的先驅(qū)之一，教導(dǎo)過(guò)許多優(yōu)秀的學(xué)生，其中有兩位最著名:華羅庚和陳省身。

　　張：您第一次見到陳省身教授是在什么時(shí)候?

　　楊：1930-1934年，陳教授在北平清華大學(xué)做研究生時(shí)，我父親是清華數(shù)學(xué)系教授，但我不記得那時(shí)我們是否見過(guò)面。然而我卻清楚記得首次見到陳夫人時(shí)的情景。那是在1929年10月初，她的父親鄭桐蓀教授已在清華做了好幾年教授，楊家則剛搬到清華。那時(shí)我只有7歲，在上小學(xué)。鄭教授一家邀請(qǐng)我們到他家里吃飯。于是我第一次見到了“鄭姊姊”。鄭楊兩家的關(guān)系一直十分密切。1939年，我父親和母親更撮合了陳教授與鄭士寧女士的婚事，并且因此成為他們?cè)诶ッ鹘Y(jié)婚時(shí)的介紹人。

　　張：1938-1942年間，您是清華大學(xué)物理系的學(xué)生，陳省身先生是否教過(guò)您?

　　楊：1937年陳教授學(xué)成回國(guó)。當(dāng)時(shí)由于抗日戰(zhàn)爭(zhēng)，清華大學(xué)與北京大學(xué)、南開大學(xué)在昆明合并組成戰(zhàn)時(shí)的國(guó)立西南聯(lián)合大學(xué)，即西南聯(lián)大。陳先生在西南聯(lián)大教了六年書：1937—1943。他是一位極出色和受歡迎的教授。我則先在西南聯(lián)大讀本科，然后念研究生。西南聯(lián)大的歲月在我腦海中留下了美好的回憶，當(dāng)時(shí)所受的優(yōu)良教育也令我終生感激。

　　在西南聯(lián)大，我很可能旁聽過(guò)陳省身的好幾門數(shù)學(xué)課，但是根據(jù)保存至今的成績(jī)單，我只是在1940年秋季學(xué)期正式選修過(guò)他講授的微分幾何課程。當(dāng)時(shí)我是物理系的三年級(jí)學(xué)生。

　　張：這門課您有所得益吧?

　　楊：當(dāng)然。不過(guò)我已經(jīng)記不清楚上課的情形了，只有一件事印象很深：如何證明每一個(gè)二維曲面保角等價(jià)于平面?我知道如何把度量張量化成

　　的形式，但是想了很久都想不出怎樣使A=B。有一天，陳先生告訴我要用復(fù)變量，并寫下：

　　這個(gè)式子。學(xué)到這簡(jiǎn)單的妙訣，是我畢生難忘的經(jīng)歷。

　　張：您何時(shí)到達(dá)美國(guó)?

　　楊：1945年11月。到美國(guó)后，我想追隨費(fèi)米或維格納學(xué)物理。但我在哥倫比亞大學(xué)找不到費(fèi)米，因?yàn)樗?942年前已離去。于是我去普林斯頓大學(xué)找維格納，卻發(fā)現(xiàn)他下一年度休假，令我大為失望。幸好我聽說(shuō)費(fèi)米將回到芝加哥一個(gè)新成立的研究所去，這就是我去芝加哥大學(xué)讀博士學(xué)位的緣由。

　　張：陳省身先生有一段很長(zhǎng)的時(shí)間在芝加哥大學(xué)當(dāng)教授。

　　楊：是的，但這是我1949年離開芝加哥后的事。陳先生在1949年初到美國(guó)后，我們經(jīng)常在普林斯頓、芝加哥和伯克利見面。

　　張：那時(shí)你們討論過(guò)纖維叢嗎?

　　楊：70年代之前從未談起過(guò)。我們?cè)缙诘慕佑|是非學(xué)術(shù)性的。我們談?wù)撨^(guò)很多數(shù)學(xué)家，卻未討論過(guò)數(shù)學(xué)。

　　1954年楊振寧和米爾斯的論文

　　在昆明和芝加哥做研究生時(shí)，楊振寧已經(jīng)對(duì)規(guī)范不變性決定一切電磁相互作用的事實(shí)有深刻的印象。這課題能為人所知曉，是自外爾、?？?、倫敦在1918—1929年間所做的工作，以及后來(lái)泡利的綜述文章開始的。但到了40年代和50年代初，這一課題在物理學(xué)中仍然只占有一個(gè)微不足道的純技術(shù)性的位置。在芝加哥，楊振寧試圖把規(guī)范不變性推廣到非交換群的情形 (電磁場(chǎng)的規(guī)范群是交換群U(1)) 。類似于麥克斯韋方程，他嘗試把場(chǎng)強(qiáng)

　　定義為：

　　(1)

　　這似乎是麥克斯韋電磁場(chǎng)方程的自然推廣，但是“結(jié)果出現(xiàn)麻煩，不得不放棄”[1，p. 19]。

　　1954年楊振寧到紐約長(zhǎng)島的布魯克海文國(guó)家實(shí)驗(yàn)室訪問(wèn)研究時(shí)，再次回到推廣規(guī)范不變性的想法上來(lái)。來(lái)自哥倫比亞大學(xué)獲得博士學(xué)位的米爾斯來(lái)到該實(shí)驗(yàn)室做博士后，和楊振寧在同一辦公室工作。楊振寧將非交換規(guī)范場(chǎng)的想法介紹給米爾斯，他們決定在(1)式的右邊添加一個(gè)二次項(xiàng)

　　結(jié)果把一切“麻煩”都消除了，并引出一種很漂亮的新場(chǎng)論。1954年夏，他們向《物理評(píng)論》提交了一篇論文，此論文在當(dāng)年10月發(fā)表，標(biāo)題是“同位旋守恒和規(guī)范不變性”[2]。關(guān)于這段時(shí)期，米爾斯后來(lái)寫道[4，p. 463]：

　　我當(dāng)時(shí)接受了一個(gè)博士后的工作，也在布魯克海文，并與楊振寧在同一個(gè)辦公室工作。(當(dāng)時(shí)我正在紐約的哥倫比亞大學(xué)的克羅爾指導(dǎo)下慢慢地撰寫對(duì)于四階蘭姆位移可能有的貢獻(xiàn)進(jìn)行研究的畢業(yè)論文。)楊振寧當(dāng)時(shí)已在許多場(chǎng)合中表現(xiàn)出了他對(duì)剛開始物理學(xué)家生涯的青年人的慷慨，他告訴我關(guān)于推廣規(guī)范不變性的思想，而且我們較為詳細(xì)地做了討論。我當(dāng)時(shí)已有了有關(guān)量子電動(dòng)力學(xué)的一些基礎(chǔ)，所以在討論中能有所貢獻(xiàn)(特別是關(guān)于量子化的過(guò)程)，而且在計(jì)算它的表述形式方面也有小小的貢獻(xiàn)，但是一些關(guān)鍵性的思想都是屬于楊振寧的。

　　張：我看過(guò)有報(bào)道說(shuō)，米爾斯當(dāng)時(shí)在英國(guó)[4. p. 463]：“1954年，楊振寧在美國(guó)，米爾斯在英國(guó)，他們構(gòu)造了一種涉及非交換群的麥克斯韋方程的非線性推廣。”

　　楊：那是不正確的。1954年米爾斯確實(shí)是在美國(guó)。后來(lái)他曾多次訪問(wèn)英國(guó)，但絕不是1954年。

　　張：梅耶 (M. E. Mayer) 在1977年出版的一本書里，曾這樣寫道：

　　讀了Yang和Mills的論文，就可以看出他們一定明白了規(guī)范勢(shì)的幾何意義，因?yàn)樗麄兪褂昧艘?guī)范協(xié)變的微分與聯(lián)絡(luò)的曲率形式。此外，該文的基本方程將與從更為幾何的考慮而導(dǎo)出的方程相符······[5，p. 2]

　　梅耶認(rèn)為你們已經(jīng)清晰地理解了微分幾何，是這樣的嗎?

　　楊：不，不是這樣的。米爾斯和我在1954年所做的事，只是想推廣麥克斯韋方程。我們并不清楚麥克斯韋方程的幾何意義，也沒(méi)有朝那個(gè)方向去想。對(duì)物理學(xué)來(lái)說(shuō)，規(guī)范勢(shì)根植于我們對(duì)電磁場(chǎng)的描述，而聯(lián)絡(luò)是一種幾何概念，我是在1970年前后才了解的。麥克斯韋方程原來(lái)具有很深的幾何意義，是物理學(xué)家意想不到的新發(fā)現(xiàn)。

　　張：一個(gè)有趣的問(wèn)題是，你在1954年是否理解這篇關(guān)于非交換規(guī)范場(chǎng)論的原創(chuàng)論文的巨大重要性?

　　楊：喔，恐怕不會(huì)。在20世紀(jì)50年代，我們只覺(jué)得這篇文章很重要；到了60年代，才覺(jué)察到它的重要性；及至70年代，才曉得它對(duì)物理學(xué)是極為重要的。只是到了1974年以后，我才清楚認(rèn)識(shí)到它跟數(shù)學(xué)的關(guān)系。

　　張：眾所周知，外爾是規(guī)范理論的創(chuàng)始人，為什么你們?cè)?954年的論文中沒(méi)有提到他?

　　楊：在20世紀(jì)40至50年代，物理學(xué)家雖然知道外爾曾經(jīng)導(dǎo)出交換的規(guī)范不變概念，但大多只引用泡利的評(píng)論文章[6，7]。事實(shí)上，我那時(shí)并沒(méi)有看過(guò)外爾的任何論文。

　　張：你在普林斯頓見過(guò)外爾嗎?

　　楊：當(dāng)然見過(guò)，1985年，我在蘇黎世紀(jì)念外爾百年誕辰的演講中曾提到這件事：

　　當(dāng)我在1949年成為普林斯頓高等研究所的一名年輕成員時(shí)，曾見過(guò)外爾。之后的幾年 (1949-1955) 內(nèi)，我時(shí)?？吹剿Ｋ苋菀子H近，但我不記得曾和他討論過(guò)物理學(xué)或數(shù)學(xué)問(wèn)題。在物理學(xué)家中，沒(méi)有人知道他對(duì)規(guī)范場(chǎng)思想的興趣是鍥而不舍的。無(wú)論是奧本海默還是泡利，都從未提及這一點(diǎn)。我猜測(cè)他們也沒(méi)有把我和米爾斯1954年發(fā)表的論文告訴他。如果他們告訴了他，或者他偶然發(fā)現(xiàn)了我們的文章，那么我能想象得到，他一定會(huì)非常高興，而且會(huì)非常激動(dòng)。因?yàn)槲野阉钫鋹鄣膬蓸訓(xùn)|西——規(guī)范場(chǎng)和李群——放在一起了。[8，pp. 19–20]。

　　張：我從你的這篇有關(guān)外爾的漂亮文章中，知道外爾創(chuàng)立了中微子的二分量理論。

　　楊：是的。外爾在1929年所寫的論文中提出了這一理論，但指出它違背了左右對(duì)稱性，因此不能與現(xiàn)實(shí)有關(guān)。大約三十年以后，在1956-1957年間，當(dāng)發(fā)現(xiàn)左右對(duì)稱性并不嚴(yán)格地被遵守的時(shí)候，外爾的理論復(fù)活了。時(shí)至今日，這仍然是有關(guān)中微子的正確理論。順便說(shuō)一句，在外爾去世兩年以后，我和太太買了外爾在普林斯頓的房子，并在那里住了九年之久：1957—1966。

　　張：當(dāng)外爾知道他的中微子理論獲得證實(shí)時(shí)，有怎樣的反應(yīng)?

　　楊：在1957年物理學(xué)界發(fā)生巨大轟動(dòng)的兩年之前，外爾不幸去世了。1957年初，發(fā)現(xiàn)左右對(duì)稱不被嚴(yán)格遵守 (即宇稱不守恒) 后，外爾的理論復(fù)活了。它與μ-衰變的實(shí)驗(yàn)極漂亮地吻合。但此后的六個(gè)月，物理學(xué)界又陷入關(guān)于β-衰變的困惑，這一問(wèn)題與外爾的中微子究竟是右旋還是左旋有關(guān)。到這年的秋天，出現(xiàn)了關(guān)于β-衰變結(jié)構(gòu)的V-A建議。到了12月，一個(gè)精巧的實(shí)驗(yàn)將一切問(wèn)題都澄清了，其中包括外爾中微子是左旋的結(jié)論。

　　張：外爾比楊振寧年長(zhǎng)37歲，他們屬于不同的學(xué)術(shù)時(shí)代，來(lái)自不同的國(guó)家，從事不同的學(xué)科。我們是否可以說(shuō)外爾是非常欣賞物理的數(shù)學(xué)家，而楊振寧則是非常欣賞數(shù)學(xué)的物理學(xué)家?

　　Yang-Mills理論與幾何學(xué)

　　在楊振寧和米爾斯的原始論文發(fā)表以后，涉及規(guī)范理論的量子化和重整化、尋求Yang - Mills方程的精確解的論文大量涌現(xiàn)，但只有少數(shù)人注意到規(guī)范場(chǎng)論的幾何與拓?fù)湟饬x，其中包括S. Mandel - stam(1962)，E. Lubkin(1963)和H. G. Loos(1967)。此外，R. Hermann為物理學(xué)家寫了一系列數(shù)學(xué)讀物，其中一部分也涉及規(guī)范場(chǎng)和幾何的關(guān)系，不過(guò)這些工作似乎都沒(méi)有產(chǎn)生很大的影響。于是我向楊振寧先生詢問(wèn)他了解規(guī)范場(chǎng)論與幾何學(xué)之間的關(guān)系的個(gè)人體驗(yàn)。

　　張：1954年以后，您曾繼續(xù)研究規(guī)范理論嗎?

　　楊：是的，我一直在研究。在20世紀(jì)50年代和60年代，雖然物理學(xué)中還沒(méi)有實(shí)際地使用非交換規(guī)范場(chǎng)論，但是隨著時(shí)間的推移，越來(lái)越多的人欣賞到它的優(yōu)美特性。例如在1964年，D. Ivanienko出版了一冊(cè)輯錄了12篇譯成俄文的關(guān)于規(guī)范場(chǎng)論的論文集，這些論文的作者包括Yang - Mills，Lee - Yang，J. J. Sakurai，M. Gell - Mann等。我自己在整個(gè)20世紀(jì)50年代都在規(guī)范場(chǎng)論的各個(gè)方面做工作，雖然沒(méi)有獲得多少有用的結(jié)果。

　　到了20世紀(jì)60年代末期，我開始用不可積相因子的方法重新建立規(guī)范場(chǎng)論。有一個(gè)學(xué)期，我正在講授廣義相對(duì)論，突然注意到規(guī)范場(chǎng)論中的公式

　?。?）

　　與黎曼幾何中的曲率公式

　　（3）

　　不僅十分相似，而且如果把二者的符號(hào)正確地等同起來(lái)，這兩個(gè)公式乃是完全一樣的。當(dāng)我理解到這一點(diǎn)時(shí)，我內(nèi)心的震撼是難以形容的。

　　張：這是你第一次覺(jué)察到規(guī)范場(chǎng)論與微分幾何之間有密切聯(lián)系嗎?

　　楊：我早先曾注意到Levi - Civita的平行移動(dòng)和規(guī)范場(chǎng)論中的不可積相因子之間的相似性，但我真正領(lǐng)略到二者之間的精確聯(lián)系，是在我認(rèn)識(shí)到公式(1)與(2)完全一樣的那一瞬間。

　　懷著想弄清楚規(guī)范理論的幾何意義的想法，我向一位杰出的幾何學(xué)家賽蒙斯(J. Simons)請(qǐng)教，他當(dāng)時(shí)是紐約州立大學(xué)石溪分校的數(shù)學(xué)系主任。賽蒙斯告訴我，規(guī)范理論一定與纖維叢上的聯(lián)絡(luò)有關(guān)。這之后，我試圖從閱讀斯廷羅德(N. E. Steenrod)的《纖維叢的拓?fù)鋵W(xué)》這類書去了解纖維叢理論，結(jié)果卻一無(wú)所獲。對(duì)物理學(xué)家而言，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的語(yǔ)言實(shí)在太乏味、太抽象了。

　　張：我想，只有數(shù)學(xué)家才會(huì)欣賞今天的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

　　楊：我告訴你一個(gè)有關(guān)的故事。大約在十年前，我在韓國(guó)漢城做演講，開個(gè)即興玩笑說(shuō)：“現(xiàn)今只有兩類現(xiàn)代數(shù)學(xué)著作：一類是你看完第一頁(yè)就不想看下去了，另一類是你看完第一句話就不想看下去了?！焙髞?lái)《數(shù)學(xué)情報(bào)員》雜志還把我這個(gè)玩笑刊登出來(lái)。但是我猜想，很多數(shù)學(xué)家都會(huì)同意我的看法。

　　張：你在什么時(shí)候弄懂了纖維叢理論?

　　楊：1975年初，我邀請(qǐng)賽蒙斯教授給我們做一系列有關(guān)微分形式和纖維叢理論的午餐演講，他欣然接受了這一邀請(qǐng)。于是我們學(xué)到了deRham定理、微分形式、拼接 (patching) 等。這些演講非常有用，使我們理解了物理學(xué)中Aharonov - Bohm實(shí)驗(yàn)和狄拉克磁單極的量子化條件的數(shù)學(xué)含義。曹宏生和我后來(lái)還弄懂了美妙的Chern - Weil定理?；仡櫰饋?lái)，正是這些演講，使我理解了過(guò)去理解得不甚清楚的流形的概念。

　　Yang-Singer-Atiyah

　　張：賽蒙斯的演講促使楊振寧和吳大峻寫了一篇著名的論文：《不可積相因子的概念與規(guī)范場(chǎng)的整體表述》[9]。在這篇論文里，他們分析了電磁場(chǎng)的內(nèi)蘊(yùn)含義，特別強(qiáng)調(diào)了它的整體拓?fù)湫再|(zhì)。他們討論了Aharonov-Bohm實(shí)驗(yàn)和狄拉克磁單極的量子化條件的數(shù)學(xué)意義。他們還展示了如下的一個(gè)字典 (后來(lái)被稱為“吳–楊字典”) ：

　　?是廣義下的電荷和電流。

　　半年后，即1976年夏天，麻省理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家辛格 (I. M. Singer) 教授來(lái)紐約州立大學(xué)石溪分校訪問(wèn)，并和楊教授做了詳細(xì)的討論。Singer在大學(xué)里原本是學(xué)物理的，20世紀(jì)40年代轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)系做研究生。他在1985年這樣寫道：

　　三十年后，我發(fā)現(xiàn)自己在牛津大學(xué)講規(guī)范場(chǎng)理論，從吳大峻和楊振寧的字典講起，最終得到了瞬子，即楊–米爾斯方程的自對(duì)偶解。做了三十年的數(shù)學(xué)，我似乎又回到了物理學(xué)[10，p. 200]。

　　為了闡述過(guò)去十年的發(fā)展，Singer在這篇文章里引用了吳–楊的字典。

　　1977年四五月間，一份由Atiyah，Hitchin，Singer[11]合著的預(yù)印本被廣泛傳閱。在這篇文章里，Atiyah-Singer的指標(biāo)定理被應(yīng)用到自對(duì)偶規(guī)范場(chǎng)上去，由此而引發(fā)了許多數(shù)學(xué)家對(duì)規(guī)范場(chǎng)的興趣。

　　1979年，Atiyah出版了一個(gè)專題研究報(bào)告，題目是“楊–米爾斯場(chǎng)論的幾何學(xué)”[12]。他的《論文選集》第五卷以“規(guī)范場(chǎng)理論”為標(biāo)題。在楊振寧石溪的辦公室的書架上，我發(fā)現(xiàn)了一冊(cè)有Atiyah簽名的第五卷《論文選集》。在前言中，Atiyah寫道[13]：

　　從1977年開始，我的興趣轉(zhuǎn)向規(guī)范場(chǎng)理論，以及幾何學(xué)和物理學(xué)的互動(dòng)。一直以來(lái)，我對(duì)理論物理的興趣不大，大多數(shù)的沖擊都來(lái)自跟麥凱(George Mackey)的深入討論。1977年的動(dòng)因來(lái)自兩個(gè)源泉。一方面，Singer告訴我Yang-Mills方程，通過(guò)楊振寧的影響，它正在向數(shù)學(xué)圈滲透。當(dāng)Singer在1977年初訪問(wèn)牛津時(shí)，他與Hitchin和我周密地考察了自對(duì)偶方程。我們發(fā)現(xiàn)，簡(jiǎn)單應(yīng)用指標(biāo)定理，就可以得出關(guān)于“瞬子”的參數(shù)個(gè)數(shù)的公式。另一個(gè)動(dòng)因則來(lái)自彭羅斯(Roger Penrose)和他的小組。

　　張：在吳–楊字典中，你們?yōu)槭裁戳粝乱粋€(gè)問(wèn)號(hào)?

　　楊：因?yàn)槟菚r(shí)數(shù)學(xué)家不曾探究過(guò)物理學(xué)家十分熟悉的重要概念：源，通常用J表示。在麥克斯韋對(duì)庫(kù)侖定律和安培–麥克斯韋定律的聯(lián)合表述中，這是一個(gè)關(guān)鍵的概念。用現(xiàn)代數(shù)學(xué)來(lái)寫，就是：

　　其中?是Hodge對(duì)偶。在“無(wú)源”(J=0)的情形，則可以寫成

　　當(dāng)

　　(依據(jù)±號(hào)的選取，f分別稱為自對(duì)偶與反自對(duì)偶的) 時(shí)，此方程自動(dòng)滿足 (因?yàn)閒本身還滿足另一組麥克斯韋方程

　　，這是法拉第定律和高斯定律的聯(lián)合表述) 。正是這個(gè)原因，許多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家開始研究自對(duì)偶與反自對(duì)偶的Yang-Mills方程。

　　張：這是一個(gè)極有趣的故事。自對(duì)偶規(guī)范場(chǎng)的研究后來(lái)引出了許多優(yōu)美的數(shù)學(xué)，包括菲爾茲獎(jiǎng)得主唐納森的工作 (下面還會(huì)提到) 。

　　楊：是的，這故事正好提供了一個(gè)現(xiàn)代的例子，就是數(shù)學(xué)家可以從物理學(xué)衍生某些概念，這其實(shí)在幾個(gè)世紀(jì)以前是很普遍的，不幸的是，現(xiàn)在很少見了。

　　張：有些數(shù)學(xué)概念對(duì)物理學(xué)也會(huì)變得重要，對(duì)此你有什么意見?我們會(huì)想起愛因斯坦曾被勸告去注意張量分析，這和你從賽蒙斯那里得到了幫助是否類似?

　　楊：愛因斯坦有博大精深和令人驚嘆的洞察力，不宜將后人和他相提并論。至于數(shù)學(xué)滲入廣義相對(duì)論與規(guī)范場(chǎng)理論的過(guò)程，是完全不同的。就前者而言，愛因斯坦沒(méi)有黎曼幾何就不可能寫出廣義相對(duì)論的方程；就后者而言，規(guī)范場(chǎng)論的方程早已寫出來(lái)了，但后來(lái)是通過(guò)數(shù)學(xué)才了解其深意。

　　張：曾有許多學(xué)者早就指出，規(guī)范場(chǎng)論和纖維叢理論密切相關(guān)，為什么他們的論文不如你們的論文在數(shù)學(xué)界有影響力?

　　楊：這可能有許多原因。有些工作太形式化，以至于物理學(xué)家不能理解它究竟說(shuō)了些什么;有些是由于物理內(nèi)容沒(méi)有被充分揭示，使得數(shù)學(xué)家覺(jué)得太微不足道。至于吳大峻和我在1975年所寫的論文，關(guān)于Aharonov-Bohm實(shí)驗(yàn)和狄拉克磁單極的量子化條件的討論，都有助于引起人們的關(guān)注。當(dāng)然，那個(gè)字典也很有用。

　　張：你和Singer、Atiyah有過(guò)學(xué)術(shù)交往嗎?

　　楊：我多次見過(guò)他們，但沒(méi)有學(xué)術(shù)合作。

　　Yang-Baxter方程

　　楊振寧為數(shù)學(xué)界提供的另一重要數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是Yang-Baxter方程，這是從他在統(tǒng)計(jì)力學(xué)的工作中引出的。

　　1967年，楊振寧試圖找出在δ-函數(shù)相互作用下，一維費(fèi)米子多體問(wèn)題的本征函數(shù)[14]。這是一個(gè)相當(dāng)困難的問(wèn)題。他在求解過(guò)程中，揭示出關(guān)鍵的一步是以下的矩陣方程：

　　(4)

　　數(shù)年之后，Baxter在解另一個(gè)物理問(wèn)題 (八頂點(diǎn)模型) 時(shí)，再次得到矩陣方程(4)。之后有好幾個(gè)研究中心都朝著這兩個(gè)發(fā)展方向進(jìn)行研究，尤其是蘇聯(lián)，更集中了人力去研究。1980年，L. D. Faddeev采用了“Yang-Baxter關(guān)系”或“Yang-Baxter方程”的術(shù)語(yǔ)。時(shí)至今日，這一命名已被廣泛接受。(1985年，Vladimir Drinfeld還定義了所謂的Yangian以紀(jì)念楊振寧，這與量子Yang-Baxter方程有關(guān)。)

　　最近六七年以來(lái)，數(shù)學(xué)和物理學(xué)上許多激動(dòng)人心的進(jìn)展表明，Yang-Baxter方程是與許多數(shù)學(xué)分支有關(guān)的一個(gè)基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這些分支包括：紐結(jié)和辮群理論、算子理論、Hopf代數(shù)、量子群、三維拓?fù)?、微分方程的單值化等。就這些課題而發(fā)表的工作造成了文獻(xiàn)爆炸[10-12]。

　　張：Yang-Baxter方程不過(guò)是一個(gè)簡(jiǎn)單的矩陣方程，為何會(huì)有那么大的重要性呢?

　　楊：在最簡(jiǎn)單的情況下，該方程可以寫為

　　(5)

　　這是關(guān)于辮群的Artin基本方程。顯然，編辮子是一系列置換的歷史記錄。我們也不難理解，許多數(shù)學(xué)和物理問(wèn)題與一連串置換的歷程有密切關(guān)系。

　　從最近六七年的進(jìn)展來(lái)看，我感覺(jué)，Yang-Baxter方程是繼Jacobi恒等式

　　(其中[A,B]=AB?BA是換位子)之后最基本的代數(shù)方程。大家都知道，Jacobi恒等式是整個(gè)李代數(shù)理論及相關(guān)的李群理論的起點(diǎn)。

　　張：Yang-Baxter方程對(duì)數(shù)學(xué)的影響似乎比對(duì)物理的影響更大?

　　楊：目前是如此。實(shí)際上，有些物理學(xué)家認(rèn)為，Yang-Baxter方程是純數(shù)學(xué)，我認(rèn)為這看法將會(huì)改變。Yang-Baxter方程是一個(gè)基本結(jié)構(gòu)，不論物理學(xué)家是否喜歡，最終必然要使用它。在20年代，許多物理學(xué)家稱群論為“害”(group pest)。這種觀念一直持續(xù)到30年代，但此后就消失了。

　　1986年和1990年的菲爾茲獎(jiǎng)

　　Yang-Mills理論和Yang-Baxter方程，兩者都在當(dāng)今核心數(shù)學(xué)中占重要位置，從1986年和1990年的菲爾茲獎(jiǎng)的頒發(fā)就可以看出這一點(diǎn)。

　　唐納森在1986年于伯克利舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上獲得菲爾茲獎(jiǎng)。Atiyah這樣介紹唐納森的工作[19]：

　　如果跟弗里德曼 (Freedman) 的一項(xiàng)重要工作合在一起，唐納森的結(jié)論意味著：存在一個(gè)“怪異”的四維空間，它與標(biāo)準(zhǔn)的歐幾里得空間同胚，但不微分同胚······他們的結(jié)果來(lái)自理論物理中的Yang-Mills方程，它是麥克斯韋方程的非線性推廣。

　　1990年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)有四位菲爾茲獎(jiǎng)得主：德林費(fèi)爾德 (Vladimir Drinfeld)、瓊斯 (V. F. R. Jones)、森重文 (Shigefumi Mori) 和威騰 (E. Witten) 。除森重文外，其他三人的工作都跟Yang-Mills方程或Yang-Baxter方程有關(guān)。以下的引文摘自1990年在京都舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的報(bào)告：

　　我們要提到德林費(fèi)爾德和馬寧(Manin)在構(gòu)造瞬子方面的先驅(qū)性工作。這些是自對(duì)偶Yang-Mills方程的解······德林費(fèi)爾德在物理學(xué)上的興趣，繼續(xù)保持在Yang-Baxter方程的研究上[20，p. 1210]。

　　瓊斯認(rèn)識(shí)到，在某些條件下，Yang-Baxter方程可用來(lái)構(gòu)造鏈環(huán)(link)的一些不變量，從而開啟了一個(gè)新的方向······量子群理論和非交換Hopf代數(shù)被神保道夫 (Michio Jimbo) 和德林費(fèi)爾德用來(lái)構(gòu)造Yang-Baxter方程的解[21，p. 1210]。

　　威騰用這些觀念描述了唐納森和弗洛爾(Floer)的不變量 (Atiyah早先想法的推廣)，并且將瓊斯的紐結(jié)多項(xiàng)式推廣到任意的環(huán)繞三維流形(ambient 3-manifold)上[22，p. 1214]。

　　我也頗有興趣地注意到，在京都國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的大會(huì)報(bào)告過(guò)分傾向于數(shù)學(xué)物理，人們有過(guò)一些抱怨[23]：

　　到處聽到的都是量子群、量子群、量子群!

　　數(shù)學(xué)和物理

　　張：為什么您在物理上的工作會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生這么大的影響?

　　楊：這是一個(gè)很難回答的問(wèn)題。幸運(yùn)是一個(gè)因素。除此之外，以下兩點(diǎn)可能有關(guān)。首先，如果你選擇去做原始的問(wèn)題，那么你就有較大的機(jī)會(huì)接觸到數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)。其次，你必須對(duì)數(shù)學(xué)的價(jià)值觀有某種程度的欣賞。

　　張：請(qǐng)就第一點(diǎn)做進(jìn)一步的說(shuō)明。

　　楊：理論物理中的好多文章是這樣產(chǎn)生的：甲發(fā)表了一篇論文闡述他的理論，乙說(shuō)他的論文改進(jìn)了甲的結(jié)果，后來(lái)丙指出乙的理論是錯(cuò)誤的，甚至往往最后發(fā)現(xiàn)甲的原始概念是完全錯(cuò)的或者根本沒(méi)有意義。

　　張：數(shù)學(xué)界同樣有類似的情形。

　　楊：不，不，情況極為不同。數(shù)學(xué)定理都是被證實(shí)過(guò)的，或被認(rèn)為是證實(shí)過(guò)的。在理論物理界，我們就像在做猜謎游戲，而大多數(shù)猜測(cè)又往往是錯(cuò)的。

　　張：不過(guò)，讀最新的文獻(xiàn)是必要的。

　　楊：那當(dāng)然對(duì)，了解你從事的領(lǐng)域中別人在想些什么，當(dāng)然是重要的。但是要取得實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，就必須面對(duì)原始的簡(jiǎn)單物理問(wèn)題，而不是別人的猜想。

　　張：您和米爾斯在1954年提出規(guī)范場(chǎng)正是這樣做的嗎?

　　楊：是的，我們問(wèn)自己：“我們能否把麥克斯韋方程加以推廣，從而得到粒子相互作用的一般法則呢?”

　　張：那么，Yang-Baxer方程又是怎么一回事呢?您在1967年的論文里討論的并不是物理學(xué)里的一個(gè)基本重要的問(wèn)題。

　　楊：你說(shuō)得對(duì)。但是，我是在探究量子力學(xué)里一個(gè)最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題：具有最簡(jiǎn)單的相互作用的一維費(fèi)米子的系統(tǒng)。

　　張：為什么您強(qiáng)調(diào)“最簡(jiǎn)單”?

　　楊：因?yàn)閱?wèn)題越簡(jiǎn)單，你的分析工作就越可能接近某些基本的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。讓我用以下的比喻來(lái)闡明。假如象棋與圍棋中有一者被發(fā)現(xiàn)具有一個(gè)以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的獲勝策略，那么一定是圍棋，因?yàn)閲遢^為簡(jiǎn)單和基本。

　　張：請(qǐng)您再談?wù)劦诙c(diǎn)成功秘訣。

　　楊：許多理論物理工作者在某些方面對(duì)數(shù)學(xué)有抗拒的心理或者有貶低數(shù)學(xué)的傾向。我不贊同這種態(tài)度，我曾經(jīng)這樣寫道[1，p. 74]：

　　我的物理學(xué)界同事大多對(duì)數(shù)學(xué)采取功利主義的態(tài)度。也許因?yàn)槭芪腋赣H的影響，我較為欣賞數(shù)學(xué)。我欣賞數(shù)學(xué)家的價(jià)值觀，我贊美數(shù)學(xué)的優(yōu)美和力量：它有戰(zhàn)術(shù)上的技巧與靈活，又有戰(zhàn)略上的雄才遠(yuǎn)慮。而且，堪稱奇跡中的奇跡的是，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本結(jié)構(gòu)。

　　張：您父親對(duì)你有哪些數(shù)學(xué)影響?

　　楊：舉例來(lái)說(shuō)吧。當(dāng)我還是中學(xué)生的時(shí)候，就從父親那里接觸到群論的基本原理，也常常被父親書架上的一本斯派澤關(guān)于有限群的書中的美麗插圖所迷住。當(dāng)我寫大學(xué)論文時(shí)，父親建議我讀一讀迪克森所寫的一本小書，叫做《近世代數(shù)理論》。這本書有短短20頁(yè)的一章介紹了群表示的特征標(biāo)理論的要點(diǎn)。這一章的優(yōu)美和威力，使我認(rèn)識(shí)到群論無(wú)與倫比的美妙和力量。

　　張：據(jù)說(shuō)你曾經(jīng)當(dāng)過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)老師，而且楊夫人(杜致禮)就是你授課班上的學(xué)生。

　　楊：是的。我曾在1944-1945年間，在昆明的一所中學(xué)里教數(shù)學(xué)，她是我班上的學(xué)生。但那時(shí)我們并不熟悉。好幾年之后，我在普林斯頓和她邂逅。教數(shù)學(xué)是一樁有趣的經(jīng)歷，不過(guò)這跟我對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度并沒(méi)有關(guān)系。

　　張：你認(rèn)為物理學(xué)家多學(xué)一點(diǎn)數(shù)學(xué)是否重要?

　　楊：不，如果一個(gè)物理學(xué)家學(xué)了太多的數(shù)學(xué)，他或她將可能被數(shù)學(xué)的價(jià)值觀所吸引，并因而喪失自己的物理直覺(jué)。我曾經(jīng)把數(shù)學(xué)和物理之間的關(guān)系比喻為一對(duì)樹葉，它們只在基部有很小的共同部分，而其余大部分是分開的：

　　它們有各自的目標(biāo)和截然不同的價(jià)值觀與傳統(tǒng)。在基礎(chǔ)概念的層面，它們令人驚訝地共享著某些概念，但即使如此，每個(gè)學(xué)科仍舊按著自身的脈絡(luò)生長(zhǎng)著。

　　張：對(duì)物理學(xué)來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否更重要?

　　楊：是的。

　　張：你曾和許多數(shù)學(xué)家有過(guò)交往嗎?

　　楊：有一些。當(dāng)李政道和我在1951年研究后來(lái)被稱為“單位圓定理”的時(shí)候，Von Neumann和A. Selberg曾建議我們?nèi)プxG. Pólya和Szego的著作《分析中的問(wèn)題和定理》。1965年H. Whitney曾向我和我的弟弟楊振平講解向量場(chǎng)的指數(shù)(index)的拓?fù)涓拍睢榱饲蠼釽iener-Hopf積分方程，M. Kac曾建議我們讀M. G. Krein有關(guān)這一課題的長(zhǎng)篇綜述。到了70年代，我曾和復(fù)旦大學(xué)以谷超豪為首的數(shù)學(xué)小組進(jìn)行合作。除了這里提到的賽蒙斯講座之外，我還得益于跟普林斯頓高等研究院A. Borel的交往，也得益于紐約州立大學(xué)石溪分校數(shù)學(xué)系的同事：Ronald G. Douglas，M. Gromov，I. Kra，B. Lawson，薩支漢(C. H. Sah)①和其他人。

　?、倜绹?guó)著名數(shù)學(xué)家，1934年出生于北京，是物理學(xué)家薩本棟次子。

　　張：你和陳先生有很多的交往嗎?

　　楊：如上所述，我早年在中國(guó)曾選修過(guò)他講述的微分幾何課，也可能旁聽過(guò)他的其他課程。在1949年及以后的幾年，我們?cè)啻我娒?，但未曾深談?shù)學(xué)。在20世紀(jì)50年代，我已經(jīng)說(shuō)過(guò)陳氏級(jí)(Chern class)的重要性，但并不知道它的奧妙。

　　只是到了1975年，當(dāng)賽蒙斯在我們的理論物理研究所做了一系列演講之后，我才終于明白了纖維叢和纖維叢上的“聯(lián)絡(luò)”的基本概念。經(jīng)過(guò)一番努力，我也終于明白了最基本的陳–韋伊 (Chern-Weil) 定理。

　　我在懂得這深?yuàn)W美妙的定理后，真的有了觸電的感覺(jué)。這個(gè)感受猶勝于60年代了解外爾(Weyl)計(jì)算群表示的特征標(biāo)公式和彼得–外爾(Peter-Weyl)定理之后的喜悅。為什么呢?可能是因?yàn)殛惃C韋伊定理更“幾何”一點(diǎn)吧。

　　而且，感受并不止于此。還有更深刻、更觸及心靈深處的地方：到頭來(lái)忽然領(lǐng)悟到，客觀的宇宙奧秘與純粹用邏輯和優(yōu)美這些概念發(fā)展出來(lái)的數(shù)學(xué)概念竟然完全吻合，那真是令人感到悚然。我曾經(jīng)描述過(guò)這個(gè)感受[1，p. 567]：

　　在1975年，明白了規(guī)范場(chǎng)和纖維叢理論之間的關(guān)系之后我非常激動(dòng)。我開車到陳省身教授在伯克利附近的El Cerrito寓所······我說(shuō)，物理學(xué)上的規(guī)范場(chǎng)正好是纖維叢上的聯(lián)絡(luò)，而后者是在不涉及物理世界的情況下發(fā)展出來(lái)的，這實(shí)在令我驚訝。我還加了一句：“這既令我驚訝，也令我迷惑不解，因?yàn)槟銈償?shù)學(xué)家憑空夢(mèng)想出這些概念?！标愂∩懋?dāng)即提出異議：“非也，非也，這些概念并非是憑空夢(mèng)想出來(lái)的，它們既是自然的，也是實(shí)在的?！?/p>

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　　[23] Mathematical Intelligencer, vol. 9 (1991), no. 2, 7.

　　附 

　　楊振寧是當(dāng)代的大物理學(xué)家，又是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的重要推動(dòng)者，他的兩項(xiàng)巨大成就——楊–米爾斯規(guī)范場(chǎng)和楊–巴克斯特方程，成為80年代以來(lái)一系列數(shù)學(xué)研究的出發(fā)點(diǎn)，其影響遍及微分幾何、偏微分方程低維拓?fù)?、紐結(jié)理論、量子群等重大數(shù)學(xué)學(xué)科。筆者曾在楊振寧與當(dāng)代數(shù)學(xué)的訪談錄中有過(guò)較為詳細(xì)的介紹，這里記錄的有關(guān)數(shù)學(xué)與物理學(xué)的關(guān)系，來(lái)自筆者在1995年末在紐約州立大學(xué)訪問(wèn)楊振寧時(shí)的一些談話材料。

　　1.  有關(guān)數(shù)學(xué)的兩則笑話

　　20世紀(jì)80年代初，楊振寧在韓國(guó)漢城做物理學(xué)演講時(shí)說(shuō)，“有那么兩種數(shù)學(xué)書，第一種是你看了第一頁(yè)就不想看了，第二種是你看了第一句話就不想看了?！碑?dāng)時(shí)引得在座的物理學(xué)家哄堂大笑。此話事出有因。1969年，楊振寧覺(jué)得物理上的規(guī)范場(chǎng)理論與數(shù)學(xué)上的纖維叢理論可能有關(guān)系，就把著名拓?fù)鋵W(xué)家Steenrod寫的《纖維叢的拓?fù)鋵W(xué)》一書拿來(lái)讀，結(jié)果是一無(wú)所獲。原因是，該書從頭至尾都是定義、定理、推論式的純粹抽象演繹，生動(dòng)活潑的實(shí)際背景淹沒(méi)在形式邏輯的海洋中，使人摸不著頭腦。

　　楊振寧在漢城演講中的那句話本來(lái)是即興的玩笑，不能當(dāng)真的。豈料不久之后被《數(shù)學(xué)情報(bào)員》爆料出來(lái)，公之于眾。數(shù)學(xué)界當(dāng)然會(huì)有人反對(duì)，認(rèn)為數(shù)學(xué)書本來(lái)就應(yīng)該是那樣寫的。不過(guò)，楊振寧先生說(shuō)，“我相信會(huì)有許多數(shù)學(xué)家支持我，因?yàn)閿?shù)學(xué)畢竟要讓更多的人來(lái)欣賞，才會(huì)產(chǎn)生更大的效果?！?/p>

　　我想，在當(dāng)代物理學(xué)家中，楊振寧是特別偏愛數(shù)學(xué)而且大量運(yùn)用數(shù)學(xué)的少數(shù)人之一。如果連他也對(duì)某些數(shù)學(xué)著作的表達(dá)方式嘖有煩言，遑論其他的物理學(xué)家?就更不要說(shuō)生物學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、一般的社會(huì)學(xué)家和讀者了。

　　楊振寧先生講的另一個(gè)笑話，可在波蘭裔美國(guó)數(shù)學(xué)家Ulam的自傳《一個(gè)數(shù)學(xué)家的遭遇》中讀到，該書第294頁(yè)寫道：

　　楊振寧，諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主，講過(guò)一個(gè)有關(guān)當(dāng)前數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家之間不同思考方式的故事：一天晚上，一幫人來(lái)到一個(gè)小鎮(zhèn)。他們有許多衣服要洗，于是滿街找洗衣房。忽然他們見到一扇窗戶上有標(biāo)記：這里是洗衣房。一個(gè)人高聲問(wèn)道：“我們可以把衣服留在這里讓你洗嗎?”窗內(nèi)的老板回答說(shuō)：“不，我們不洗衣服?！眮?lái)人又問(wèn)道：“你們窗戶上不是寫著是洗衣房嗎?”老板又回答說(shuō)：“我們是做洗衣房標(biāo)記的，不洗衣服?！边@很有點(diǎn)像數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)家只做普遍適合的標(biāo)記，而物理學(xué)家卻創(chuàng)造了大量的數(shù)學(xué)。

　　楊振寧教授的故事是一則深刻的寓言。數(shù)學(xué)圈外的人們對(duì)于數(shù)學(xué)家“只做標(biāo)記，不洗衣服”的看法是不贊成的。數(shù)學(xué)家Ulam在引用了楊振寧的笑話之后，問(wèn)道，信息論是工程師Shannon創(chuàng)立的，而純粹數(shù)學(xué)家為什么不早就建立起來(lái)?他感嘆地說(shuō)：“現(xiàn)今的數(shù)學(xué)與19世紀(jì)的數(shù)學(xué)完全不同，甚至99%的數(shù)學(xué)家不懂物理，然而有許許多多的物理概念，要求數(shù)學(xué)的靈感、新的數(shù)學(xué)公式、新的數(shù)學(xué)觀念。”

　　2.理論物理的“猜”與和數(shù)學(xué)的“證”

　　1995年12月，楊振寧先生接到復(fù)旦大學(xué)校長(zhǎng)楊福家的來(lái)信，邀請(qǐng)楊振寧在1996年5月到復(fù)旦大學(xué)為“楊武之講座”做首次演講。楊武之教授是楊振寧的父親，又是我國(guó)數(shù)學(xué)前輩，早年任清華大學(xué)數(shù)學(xué)系主任多年，50年代后，則在復(fù)旦大學(xué)任教授。所以楊振寧很愉快地接受了邀請(qǐng)，但是他不能像楊福家校長(zhǎng)要求的那樣做20次演講，只準(zhǔn)備講三次。順著這一話題，楊振寧先生又談了理論物理和數(shù)學(xué)的一些關(guān)系。楊先生說(shuō)：

　　理論物理靠的是“猜”，而數(shù)學(xué)講究的是“證”，理論物理的研究工作是提出猜想，設(shè)想物質(zhì)世界是怎樣的結(jié)構(gòu)。只要言之成理，不管是否符合現(xiàn)實(shí)，都可以發(fā)表。一旦猜想被實(shí)驗(yàn)證實(shí)，這一猜想就變成真理。如果被實(shí)驗(yàn)否決，發(fā)表的論文便一錢不值(當(dāng)然失敗是成功之母，但那是另一層意思了)。數(shù)學(xué)就不同，發(fā)表數(shù)學(xué)論文只要沒(méi)有錯(cuò)誤，總是有價(jià)值的，因?yàn)槟遣皇遣鲁鰜?lái)的，而是有邏輯的證明。邏輯證明的結(jié)果，總有一定的客觀真理性。

　　正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)的結(jié)果可以講很長(zhǎng)時(shí)間，它的結(jié)果以及得出這些結(jié)果的推導(dǎo)過(guò)程都是很重要的。高斯給出代數(shù)基本定理的四種證明，每種證明都值得講。如果讓丘成桐從頭來(lái)講卡拉比猜想的證明，他一定會(huì)有20講。但是，要我講宇稱不守恒是怎么想出來(lái)的，我講不了多少話。因?yàn)楫?dāng)時(shí)我們的認(rèn)識(shí)就是朝著否定宇稱守恒的方向想，“猜測(cè)”不守恒是正確的。根據(jù)是有一些，但不能肯定。究竟對(duì)不對(duì)，要靠實(shí)驗(yàn)。

　　楊先生最后說(shuō)：“理論物理的工作好多是做無(wú)用功，在一個(gè)不正確的假定下猜來(lái)猜去，文章一大堆，結(jié)果全是錯(cuò)的。不像數(shù)學(xué)，除了個(gè)別錯(cuò)的以外，大部分都是對(duì)的，可以成立的。”

　　楊先生的這番話，使我想起不久前Quine和Jaffe的一篇文章①，發(fā)表于Bulletin of AMS1993年8月號(hào)，曾引起相當(dāng)?shù)霓Z動(dòng)。該文的主題是問(wèn)，是否允許“猜測(cè)數(shù)學(xué)”存在？文中提到，物理學(xué)已經(jīng)有了分工，理論物理做“猜測(cè)”，實(shí)驗(yàn)物理做“證明”。但是數(shù)學(xué)沒(méi)有這種分工。一個(gè)數(shù)學(xué)家，既要提出猜想，又要完成證明。除了Hilbert那樣的大人物可以提出23個(gè)問(wèn)題，其猜想可以成為一篇大文章之外，一般數(shù)學(xué)家最多在文章末尾提點(diǎn)猜想以增加讀者的興趣，而以純粹的數(shù)學(xué)猜想為主干的文章是無(wú)處發(fā)表的。因此，兩位作者建議允許“理論數(shù)學(xué)”即“猜測(cè)數(shù)學(xué)”的存在。

　　①A. Jaffe and F. Quine, "Theoretical mathematics: toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics," Bull. Amer., Math. Soc. N. S. 29 (1993), 1-13; M. Atiyah et al., "Responses," Bull. Amer. Math. Soc. N. S. 30, (1994), 178-207. (中譯文分別是: "理論性數(shù)學(xué): 數(shù)學(xué)與理論物理的文化綜合", 周善有譯,《數(shù)學(xué)譯林》1993 年第 13 卷第 2 期, 147{157; 對(duì) A. Jaffe 與 F. Quine 的《理論性數(shù)學(xué): 數(shù)學(xué)與理論物理的文化綜合》一文的反應(yīng), 江嘉禾、鐵小勻譯,《數(shù)學(xué)譯林》1994 年第 13 卷第 4 期, 317-322.)

　　這樣一來(lái)，現(xiàn)在有兩種互相對(duì)立的看法。一方面，物理學(xué)界中像楊振寧先生那樣，覺(jué)得理論物理的研究太自由，胡亂猜測(cè)皆成文章，而數(shù)學(xué)的情況還是比較好的。另一方面，數(shù)學(xué)界如Quine和Jaffe那樣，覺(jué)得目前數(shù)學(xué)研究要求每個(gè)結(jié)論都必須證明的要求，太束縛人的思想，應(yīng)該允許人們大膽地猜測(cè)，允許有根據(jù)但未經(jīng)完全確認(rèn)的數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)表出來(lái)。二者孰是孰非，看來(lái)需要一個(gè)平衡。許多問(wèn)題涉及哲學(xué)和社會(huì)學(xué)層面，就不是三言兩語(yǔ)可以解決的了。

　　3. 復(fù)數(shù)、四元數(shù)的物理意義

　　虛數(shù)的出現(xiàn)可溯源至15世紀(jì)時(shí)求解三次方程，但直到18世紀(jì)的Euler時(shí)代，仍稱之為“想象的數(shù)”(imaginary numbers)。數(shù)學(xué)界正式接受它，要到19世紀(jì)，經(jīng)Cauchy，Gauss，Riemann，Weierstrass的努力，以漂亮的復(fù)變函數(shù)論贏得歷史地位。至于在物理學(xué)領(lǐng)域，一直認(rèn)為能夠測(cè)量的物理量只是實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)是沒(méi)有現(xiàn)實(shí)意義的。盡管在19世紀(jì)，電工學(xué)中大量使用復(fù)數(shù)，有復(fù)數(shù)的電動(dòng)勢(shì)、復(fù)值的電流，但那只是為了計(jì)算的方便。不用復(fù)數(shù)，你能算出來(lái)，只不過(guò)麻煩一些而已。計(jì)算的最后結(jié)果也總是實(shí)數(shù)，并沒(méi)有承認(rèn)在現(xiàn)實(shí)中真有“復(fù)數(shù)”形態(tài)的電流。

　　有鑒于此，楊振寧先生說(shuō)，直到20世紀(jì)初，情況仍然沒(méi)有多少改變。一個(gè)例證是創(chuàng)立了量子波動(dòng)力學(xué)的薛定諤，據(jù)說(shuō)他在1926年初就已經(jīng)得到我們現(xiàn)在熟悉的方程，

　　（6）

　　其中含有虛數(shù)單位i，波函數(shù)是復(fù)函數(shù)，但最后總是取實(shí)部。薛定諤因?yàn)槠渲泻刑摂?shù)，而對(duì)方程(1)不滿意，力圖找出不含復(fù)數(shù)的基本方程。于是，他將上式兩邊求導(dǎo)后化簡(jiǎn)，得到了一個(gè)不含復(fù)數(shù)但更復(fù)雜的高階微分方程：

　　（7）

　　1926年6月6日，薛定諤在給洛倫茨的一封長(zhǎng)信中，認(rèn)為這個(gè)不含復(fù)數(shù)的方程(7)“可能是一個(gè)普遍的波動(dòng)方程”。這時(shí)薛定諤正在為消除復(fù)數(shù)而努力。但是到了同年的6月23日，薛定諤領(lǐng)悟到，這是行不通的。在論文中，他第一次提出：“波函數(shù)是時(shí)空的復(fù)函數(shù)，并滿足方程(6)?！彼逊匠?6)稱為真正的波動(dòng)方程，原因是，描述量子行為的波函數(shù)，不僅有振幅大小，還有相位，二者相互聯(lián)系構(gòu)成整體，所以量子力學(xué)方程非用復(fù)數(shù)不可。另一個(gè)例子是Weyl在1918年發(fā)展的規(guī)范理論，被愛因斯坦拒絕接受，也是因?yàn)闆](méi)有考慮相位因子，只在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)處理問(wèn)題。后來(lái)由Fock和London用加入虛數(shù)i的量子力學(xué)加以修改，Weyl的理論才又復(fù)活。

　　牛頓力學(xué)中的量全都是實(shí)數(shù)量，但一旦進(jìn)入量子力學(xué)，就必須使用復(fù)數(shù)量。楊振寧和Mills在1954年提出非交換規(guī)范場(chǎng)，正是注意到了這一點(diǎn)，才會(huì)把Weyl規(guī)范理論中的相位因子推廣到李群的李代數(shù)，從而完成了一項(xiàng)歷史性的革命。

　　1959年，Aharanov和Bohm設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)表明，在量子力學(xué)中，與標(biāo)量勢(shì)一樣，向量勢(shì)也是可以測(cè)量的，打破了“可測(cè)的物理量必須是實(shí)數(shù)”的框架。這一實(shí)驗(yàn)相當(dāng)困難，最后由日本的Tonomura及其同事于1982年和1986年先后完成。這樣，物理學(xué)中的可測(cè)量終于拓展到了復(fù)數(shù)。

　　令我驚異的是，楊振寧教授預(yù)言，下一個(gè)目標(biāo)將是四元數(shù)進(jìn)入物理學(xué)。自從1843年愛爾蘭物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家哈密頓發(fā)現(xiàn)四元數(shù)之后，他本人曾花了后半輩子，試圖把四元數(shù)像復(fù)數(shù)那樣廣泛地運(yùn)用于數(shù)學(xué)和物理學(xué)，開創(chuàng)四元數(shù)的世紀(jì)。但結(jié)果是令人失望的。人們?cè)u(píng)論這是“愛爾蘭人的悲劇”。時(shí)至今日，一個(gè)數(shù)學(xué)系的畢業(yè)生可能根本不知道有四元數(shù)這回事，最多也不過(guò)是非交換代數(shù)的一個(gè)例子而已。我還記得，1986年春，錢學(xué)森在致中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)王元的一封信中，曾建議多學(xué)計(jì)算機(jī)知識(shí)，而把研究“四元數(shù)分析”(復(fù)分析的推廣)的工作貶低為“像上一個(gè)世紀(jì)的古董”?？傊?，和許多數(shù)學(xué)工作者一樣，我認(rèn)為四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)，只不過(guò)是“抽象的代數(shù)產(chǎn)物”，不會(huì)有什么大用處。

　　然而，楊振寧向我解釋了他的想法：

　　物理學(xué)離不開對(duì)稱。除了幾何對(duì)稱之外，還有代數(shù)對(duì)稱。試看四元數(shù)

　　，其基本單位滿足

　　像這種對(duì)稱的性質(zhì)，在物理學(xué)中經(jīng)?？梢耘龅?。問(wèn)題是：有哪些基本的物理學(xué)規(guī)律非用四元數(shù)表示不可?現(xiàn)在似乎還沒(méi)有出現(xiàn)。最近，丘成桐等人的文章說(shuō)，我在1977年發(fā)表的一篇文章，曾推動(dòng)代數(shù)幾何中穩(wěn)定叢的解析處理的理論。我還沒(méi)有問(wèn)過(guò)數(shù)學(xué)家，不知道這是怎么一回事。許多工作，包括用四元數(shù)表示的物理理論，也許會(huì)在這種交流中逐步浮現(xiàn)。

　　楊振寧先生又說(shuō)，至于將復(fù)分析理論形式地推廣到四元數(shù)分析理論，由于四元數(shù)乘法的非交換性，導(dǎo)數(shù)無(wú)法唯一確定，所以不會(huì)有什么好結(jié)果出來(lái)?，F(xiàn)在也有物理學(xué)家寫成著作，但沒(méi)有引起什么注意。將來(lái)要用四元數(shù)表達(dá)的物理定律，一定會(huì)是一組非線性微分方程組，其解的對(duì)稱性必須用四元數(shù)來(lái)表示。所以楊先生相信：“愛爾蘭人的悲劇是會(huì)變成喜劇的?！?/p>

　　4.  “雙葉”比喻

　　數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系，應(yīng)該是十分密切的。在數(shù)學(xué)系以外的課程中，物理系開設(shè)的數(shù)學(xué)課最多最深?！拔锢韺W(xué)公理化、數(shù)學(xué)化”(即希爾伯特23個(gè)問(wèn)題中的第6個(gè)問(wèn)題)，曾是一個(gè)時(shí)期許多大學(xué)問(wèn)家追逐的目標(biāo)。不過(guò)，善用數(shù)學(xué)與物理的楊振寧教授卻認(rèn)為，二者之間的差別很大，他有一個(gè)生動(dòng)的“雙葉”比喻，來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)和物理之間的關(guān)系。楊振寧認(rèn)為，數(shù)學(xué)和物理學(xué)像一對(duì)“對(duì)生的”樹葉，它們只在基部有很小的共有部分，大部分則是互相分離的。楊振寧先生解釋說(shuō)：“它們有各自的目標(biāo)和截然不同的價(jià)值觀與傳統(tǒng)。在基礎(chǔ)概念的層面，它們令人驚訝地共享著某些概念，但即使如此，每個(gè)學(xué)科仍按著自身的脈絡(luò)生長(zhǎng)著?！?/p>

　　本文收錄于《楊振寧的科學(xué)世界：數(shù)學(xué)與物理的交融》（高等教育出版社，2018）。本文中文版原載：數(shù)學(xué)傳播，1992(4)；科學(xué)，1992(4)。英文版刊于Mathematical Intelligencer，1993，15(4)。中文版與英文版內(nèi)容不全相同，本文由張奠宙譯自英文版。本文還有一篇姊妹篇，見于張奠宙主編的《20世紀(jì)數(shù)學(xué)經(jīng)緯》一書中的同名文章。